Kui oled lotot mänginud, siis võin peaaegu garanteerida, et oled seda valesti teinud – matemaatiliselt. Selles artiklis näitan, kuidas saad matemaatikat kasutades võiduvõimalusi suurendada ja tõestan seda reaalselt loositud lotonumbritega.

Matemaatika ilu seisneb võimaluses ennustada juhuslike sündmuste tulemusi ja hiljem tõestada ennustuse paikapidevust. Sest numbrid ei valeta.

Kaevume teoreetilistesse arvutustesse ja selgitame matemaatika seisukohast, miks lototulemused käituvad kindlal viisil. Seejärel võrdleme teoreetilisi arvutusi tegelike loositulemustega.

Tõenäosuse alused

Tavapärane mõtlemine ütleb, et igal lotonumbrite kombinatsioonil on samaväärsed võimalused loositud saada. Näiteks 6/45 loto formaadis on igal kuue numbriga kombinatsioonil üks 8-st miljonist võimalusest loositud saada. See idee on suhteliselt nigel, kuna ei seleta, miks pole kunagi lotonumbriteks loositud kombinatsioone 1, 2, 3, 4, 5, 6 või 40, 41, 42, 43, 44, 45.

Niisiis, kuna taoline mõtlemine on küsitav, siis milline on lotovõidu tõenäosus?

Lotomängude matemaatilise kontseptsiooni mõistmiseks vaatleme alustuseks kuulide veeretamise mängu Marbles.

Ülalnähtaval pildil on valged kuulid ülekaalus mustade üle. Kui peaksid 100 dollari peale kihla vedama, siis millisele värvile panustaksid? Lihtne aritmeetika ütleb, et kui sellelt jooniselt pimesi üks kuul valida, siis on väga suur tõenäosus, et see on valget värvi.

Matemaatikas on tõenäosuse arvutamiseks 2 meetodit. Üks tegeleb sõltumatute sündmustega ja teine sõltuvate sündmustega. Me ei vaatle neid meetodeid põhjalikumalt. Praegu võtame teadmiseks, et kui asendaksime iga väljavalitud kuuli, siis tõenäosus ei muutu ja iga sündmus on sõltumatu.

Seega on tõenäoline, et ka teine juhuslikult võetud kuul on valge, kuna tõenäosuse järgi võetakse valgeid kuule sagedamini.

Ka kolmandal valikul on suurem tõenäosus, et valitakse valge kuul – samal põhjusel.

Matemaatikas on tõenäosus ühe või enama sündmuse suhe võimalike sündmuste koguarvu.

Seetõttu:

P(kõik) = valitud kombinatsioon / kõigi kombinatsioonide koguarv

Meie mustade ja valgete kuulide puhul on valge kuuli võtmise tõenäosus 45 / 50-st ja musta kuuli võtmise tõenäosus 5 / 50-st.

Protsentides väljendatuna:

P(valge) = ( 45 / 50 ) x 100 = 90% võimalus loosituks saada

P(must) = (5 / 50) x 100 = 10% võimalus loosituks saada

Lihtsalt öeldes – 100 kuuli loosimisel võetakse valge kuul 90 korral ja must ainult 10 korral.

Kui võtaksime 10 kuuli, oleks tõenäosus:

P(valge) = 9 korral 10-st

P(must) = 1 korral 10-st

Võiks küsida, mis on sellel kuulimängul pistmist loteriiga? Mitte mingit pistmist. Aga tõenäosusel on küll. Asja tuum on selles, kuidas lotomängus matemaatikat kasutada.

Vaatame edasi, kuidas tõenäosusteooriat saab lotomängude analüüsimiseks kasutada

Paaris- ja paaritute segu loto kombinatsioonides

Millistel nendest kombinatsioonidest on sinu arvates paremad võimalused lotovõiduks?

(a) 1-12-20-31-39-42

(b) 3-12-22-35-36-38

(c) 4-15-27-36-39-43

(d) 2-14-24-36-38-42

(e) 5-13-25-37-41-45

Proovi naljaviluks õige vastus ära arvata ja vaata hiljem, kas sul oli õigus.

Oluline on valida kombinatsioon, mis oleks sarnane sinu valitud kombinatsioonile päriselt mängides. Miks? Lihtne – sinu valitud kombinatsioon on vastus küsimusele “millised on lotoga võitmise võimalused?”

Kui juba valisid numbrid, siis jätkame tõenäosuse analüüsiga sarnaselt varem analüüsitud kuulimänguga.

Näitena kasutame 6/45 lotoformaati.

Esiteks on meil vaja teada, palju erinevaid 6 numbri kombinatsioone on võimalik genereerida 54-st numbrist.

Kasutame binomiaalse koefitsendi valemit:

Seletan võimalikult lihtsalt ja annan kiire vastuse:

n = 45 numbrit
r = 6 kombinatsiooni
₄₅C₆ = 8,145,060

Seega – 6/45 lotomängus on kokku 8,145,060 võimalikku kombinatsiooni.

3 paaritu ja 3 paarisarvude kombinatsiooni arvutades saame:

= 2,727,340

Selle mustri tõenäosust saame seega analüüsida järgnevalt:

P(3 paaritu & 3 paaris) = 0.33484590659

Järgides sama valemit teiste mustritega, saame lõpliku tabeli:

	Muster	Tõenäosus	%
1	3 paaritut + 3 paaris	0.3348459066	33.4845906599
2	4 paaritut + 2 paaris	0.2511344299	25.1134429949
3	2 paaritut + 4 paaris	0.2272168652	22.7216865192
4	5 paaritut + 1 paaris	0.0908867461	9.0886746077
5	1 paaritu + 5 paaris	0.0743618832	7.4361883154
6	6 paaritut + 0 paaris	0.0123936472	1.2393647192
7	0 paaritut + 6 paaris	0.0091605218	0.9160521838
		1	100

Järeldus: suurima tõenäosusega loositakse 6/45 lotos 3 paaris ja 3 paaritu muster.

Minnes tagasi küsimuse juurde, milline neist kombinatsioonidest loositakse suurima tõenäosusega?

(a) 1-12-20-31-39-42 – (õige vastus)
(b) 3-12-22-35-36-38
(c) 4-15-27-36-39-43
(d) 2-14-24-36-38-42
(e) 5-13-25-37-41-45

Nüüd ilmselt mõistad, et jutt käib “mustritest”.

(a) on õige vastus, kuna see kuulub mustrite gruppi, millel on teistest mustritest 33% suurem tõenäosus lotoga võita.

Aga millised on lotovõidu võimalused, kui valid mustrist (a) erineva mustriga kombinatsiooni?

Teoreetiliselt loositakse “3 paaritu ja 3 paaris” kombinatsioone sagedamini, sarnaselt Marbles kuulimängu näitega.

“3 paaris- ja 3 paaritu” muster loositakse 33% suurema tõenäosusega, samas kui “kõik paaris” muster loositakse 1% või vähema tõenäosusega.

Lihtsustatult:

P(3 paaritut ja 3 paarisarvu)
= esineb ligikaudu 33 korral iga 100 loosimise kohta

P(kõik paarisarvud)
= esineb ligikaudu 1 korral iga 100 loosimise kohta

Nüüd on selge, et kombinatsioonide arv kontrollib kombinatsiooni tõenäosust loositud saada.

Kuidas valida võidukaid lotonumbreid? Vastus – lihtsalt väldi numbrikombinatsioone, mis kuuluvad madalama tõenäosusega mustrite hulka. Nagu teeksid Marbles mängu mängides.

Tegeliku lotomängu puhul peaksid numbrite valimisel täielikult vältima mustreid nagu “kõik paaris” või “kõik paaritud”.

Kuid kas teoreetiline analüüs vastab tegelikkusele?

Nagu varem öeldud, seisneb matemaatika ilu võimaluses väiteid tõestada.

Tõestame siis, kasutades tegelikke lototulemusi.

Tõestus – teoreetiline versus empiiriline

Järgnevates tabelites võrdleme oodatud ja vaadeldud esinemissagedusi. Oodatud sagedus on iga mustri teoreetiline esinemissagedus, mis on saadud tõenäosuse ja loosimiste koguarvu korrutades. Vaadeldud esinemissagedus on reaalsetest lototulemustest saadud tegelik esinemissagedus. Ehk “eksperimentaalne” või “vaadeldav tõenäosus”.

Seega:

Oodatud sagedus = (tõenäosus) X (loosimiste arv)

Vaadeldud sagedus = numbrite tegelik esinemissagedus loosimistes

Tõestamaks, et meie arvutused on õiged:

Oodatud sagedus peaks sarnanema vaadeldud sagedusega piisavalt suures hulga loosimistes.

Tõestus Iirimaa loterii reaalsete tulemuste põhjal

Iirimaa Loterii 922 loosimist perioodil 4. november 2006 – 2. september 2015

	Muster	Tõenäosus	Oodatud	Vaadeldud
1	3 paaritut + 3 paaris	0.3348459066	308.7279258839	305
2	4 paaritut + 2 paaris	0.2511344299	231.5459444129	223
3	2 paaritut + 4 paaris	0.2272168652	209.4939497069	219
4	5 paaritut + 1 paaris	0.0908867461	83.7975798828	87
5	1 paaritu + 5 paaris	0.0743618832	68.5616562677	66
6	6 paaritut + 0 paaris	0.0123936472	11.4269427113	6
7	0 paaritut + 6 paaris	0.0091605218	8.4460011344	16
		1	922	922

Tulemused võetud lehelt Irishlotto.net

Tõestus Austraalia Loterii reaalsete tulemuste põhjal

Austraalia Loterii 2158 loosimist perioodil 2. juuni 1990 kuni 28. mai 2016

	Muster	Tõenäosus	Oodatud	Vaadeldud
1	3 paaritut + 3 paaris	0.3348459066	722.5974664398	706
2	4 paaritut + 2 paaris	0.2511344299	541.9480998298	545
3	2 paaritut + 4 paaris	0.2272168652	490.3339950841	499
4	5 paaritut + 1 paaris	0.0908867461	196.1335980337	213
5	1 paaritu + 5 paaris	0.0743618832	160.4729438457	141
6	6 paaritut + 0 paaris	0.0123936472	26.745490641	35
7	0 paaritut + 6 paaris	0.0091605218	19.7684061259	19
		1	2158	2158

Tulemused võetud lehelt Osalottos.com

Kaks eelmainitud 6/45 lotomängu tõestavad, et Suurte Arvude Seadus toimib. Oodatud ja vaadeldud sageduste sarnasus on selle tõendus.

Tulemused ühtivad eelpool näidatud teoreetiliste arvutustega – tõendus, et tõenäosuse rakendamine loteriis võib selgitada ja ennustada toimunud või tulevaste mängutulemuste jaotumist.

Milline on siis tõenäosus, et saad lotot mängides võidu?

Vastus sõltub sellest, millise mustriga mängid. Kui mängid mustriga, millel on enam šansse loositud saada, nagu 3 paaris- ja 3 paaritu muster, siis on võidu tõenäosus suur.

Mainisin eelnevalt Suurte Arvude Seadust. Mis see on ja kuidas see loteriiga seotud on?

Suurte Arvude Seadus

Suurte Arvude Seadus ütleb, et kui sündmus kordub palju, siis on tegelik tulemus oodatava tulemusega alati sarnane. Tegelik ja oodatav tulemus muutuvad järjest sarnasemaks, kui sündmuseid korratakse lõpmatul korral. Sündmused on siin loto tegelikud loosimised ja oodatav tulemus on oodatav sagedus peale tõenäosuse korrutamist tegelike looside arvuga.

Eelnevad tabelid näitavad selgelt, kuidas Suurte Arvude Seadus seostub lotomänguga. Nagu näed, ilmuvad “oodatud” mustrid sagedamini (tõenäosusega eksperimenteerides ja testides), kui teised mustrid. Seega võime öelda, et lotomänge saab väljendada Tõenäosusteooria ja Suurte Arvude Seaduse abil.

Nüüd tead, et tõenäosust on lotot mängides kasulik arvestada.

Lotomustrite mõistmine

The Guardianis avaldatud raportist selgub, et umbes10000 inimest mängivad igal nädalal lotot numbritega 1,2,3,4,5,6. Kui selline kombinatsioon isegi loositaks, võidaks igaüks umbes 440 eurot, kuna enamik jackpotte on umbes 4,4 miljoni euro suurused. Need inimesed ei läheks oma võidu järele kuigi rõõmsatena.

Loomulikult on üks kindel moodus lotoga võita. Osta kõik numbrikombinatsioonid. Õige?

Vale.

2014. aastal selgitas Brasiilia matemaatik Renato Gianella uurimusega “Juhuse Geomeetria”, et kõigil kombinatsioonidel pole võrdsed šansid loositud saada.

Gianella uurimuses on arvud grupeeritud erinevatesse tõenäosusgruppidesse või templeiti, nagu Gianella neid kutsub.

Kui eraldada 6/45 mängust kõik mustrid, siis saame 210 erinevat kombinatsioonide gruppi.

Olulisim on meeles pidada, et igal mustril on erinev tõenäosus loositud saada, olenevalt võimalike kombinatsioonide arvust.

Nagu ka Marbles kuulimängu näites, kui muster jääb tõenäosuse poolest teistele mustritele suurelt alla, siis on sellel mustril keeruline loositud saada.

Autor Jerry Jay Lendlsmith, Lottometrix.